1、Category: 数论 　　二次互反律是经典数论中最出色的定理之一。

2、二次互反律涉及到平方剩余的概念。

(资料图片仅供参考)

3、 设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号(a/b)：如果存在整数x, 使得b整除（x^2-a），那么就记(a/b)=1; 否则就记（a/b）=-1。

4、 在b是素数时这个符号也叫做勒让德符号。

5、 　　高斯二次互反律： 　　设p和q为不同的奇素数，则(p/q)(q/p)=( − 1)^[(p − 1)(q − 1) / 4] 　　二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。

6、高斯在1796年作出第一个严格的证明，随後他又发现了另外七个不同的证明。

7、高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。

8、有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。

9、” 　　高斯之後雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽斯等也相继给出了新的证明。

10、至今，二次互反律已有150个不同的的证明。

11、二次互反律可以推广到高次互反律。

12、 　　二次互反律被称为“数论之酿母”， 在数论中处于极高的地位。

13、 后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。

14、 　　二次互反律的一个特殊情形：2永远是8n±1型质数的平方剩余，永远是8n±3型质数的非平方剩余。

15、 　　证明：（4n）！（mod8n+1）≡（2*4*6*8*……*（4n））*（1*3*5*7*……*（4n-1）） 　　≡（2^（2n）*（1*2*3*4*……*（2n）））*（（-8n）*（-8n-2）*……*（-4n-2）） 　　≡（2^（2n）*（1*2*3*4*……*（2n）））*（（- 2）^（2n）*（（4n）*（4n-1）*……*（2n+1））） 　　≡2^（4n）*（4n）！ 　　∴当8n+1是质数时，必有2^（4n）≡1（mod8n+1）， 　　∴2永远是8n+1型质数的平方剩余，其余的可类似证明。

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